Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點），點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標(biāo)為（-2，2

3

），點E是BC的中點，點H在OA上，且AH=

1

2

，過點H且平行于y軸的HG與EB交于點G，現(xiàn)將矩形折疊，使頂點C落在HG上，并與HG上的點D重合，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點．

（1）求∠CEF的度數(shù)和點D的坐標(biāo)；
（2）求折痕EF所在直線的函數(shù)表達式；
（3）若點P在直線EF上，當(dāng)△PFD為等腰三角形時，試問滿足條件的點P有幾個，請求出點P的坐標(biāo)，并寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以求出ED=1，利用三角函數(shù)值求出∠GED的度數(shù)，從而可以求出∠CEF的度數(shù)，利用勾股定理DG的值就可以求出D點的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求出CF的值，從而求出F的坐標(biāo)，設(shè)出直線EF的解析式，直接利用待定系數(shù)法求出其解析式就可以了；
（3）如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)設(shè)出點P的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式就可以求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵E是BC的中點，
∴EC=EB=

2

2

=1．
∵△FCE與△FDE關(guān)于直線EF對稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=

1

2

，
∴EG=EB-AH=1-

1

2

=

1

2

．
∵cos∠GED=

EG

ED

=

1

2

，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=

120

2

=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-

1

4

=

3

4

∴DG=

3

2

 DH=AB-DG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

 OH=OA-AH=2-

1

2

=

3

2

故D（-

3

2

，

3 3

2

）

 （2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=

3

∴OF=OC-CF=2

3

-

3

=

3

∴F（0，

3

），E（-1，2

3

）
設(shè)EF所在直線的函數(shù)表達式為y=kx+b，由圖象，得
  

3 =b 2 3 =-k+b

，
解得：

k=- 3 b= 3

   
故EF所在直線的函數(shù)表達式為：y=-

3

x+

3

；

（3）∵DF=CF=

3

點P在直線EF上，
∴當(dāng)△PFD為等腰三角形時，有以下三種情況：
（a）P₁F=DF=

3

，
可令P₁（t，-

3

t+

3

），則：
P₁F²=3
∴由兩點間的距離公式為：
（t-0）²+（-

3

t+

3

-

3

）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=

3

4

，
∴t₁=-

3

2

，t₂=

3

2

∴P₁（-

3

2

，

3

2

+

3

）； P₃（

3

2

，-

3

2

+

3

）
（b） PD=DF=

3

時，
仍令P（t，-

3

t+

3

），注意D（-

3

2

，

3 3

2

），則：
PD²=3
∴（t+

3

2

）²+（-

3

t+

3

-

3 3

2

）²=3
∴t²+3t+

9

4

+3t²+3t+

3

4

=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-

3

2

∵t₁=0對應(yīng)F點，此時不構(gòu)成三角形，故舍去．
∴P₄（-

3

2

，

5 3

2

）
（c）當(dāng) PD=PF
仍令P（t，-

3

t+

3

），注意D（-

3

2

，

3 3

2

），F(xiàn)（0，

3

），則：
PD²=PF²
∴（t+

3

2

）²+（-

3

t+

3

-

3 3

2

）²=（t-0）²+（-

3

t+

3

-

3

）²，
∴t²+3t+

9

4

+3t²+3t+

3

4

=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-

1

2

∴P₄（-

1

2

，

3 3

2

）．
故滿足條件的點P有4個．分別是：（-

3

2

，

5 3

2

）、（

3

2

，

3

-

3

2

）、（-

3

2

，

3

+

3

2

）、（-

1

2

，

3 3

2

）．

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用及等腰的三角形的性質(zhì)的運用，在解答時求出直線EF的解析式時關(guān)鍵．