Question

如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點0作射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點P．則下列結論中：
（1）圖形中全等的三角形只有兩對；
（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；
（3）BE+BF=0A；
（4）AE²+CF²=20P•OB．
正確的結論有         個．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：本題考查正方形的性質，四邊相等，四個角都是直角，對角線相等，垂直且互相平分，且平分每一組對角．
解答：解：（1）錯誤．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正確．∵△AOE≌△BOF，∴四邊形BEOF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積；
（3）正確．BE+BF=AB=OA；
（4）正確．
AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=（OF）²=2OF²，
在△OPF與△OFB中，
∠OBF=∠OFP=45°，
∠POF=∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF=OF：OB，
OF²=OP•OB，
AE²+CF²=20P•OB．
另法：AE²+CF²=BF²+BE²=EF²=（PF+PE）²=PE²+PF²+2PE•PF．
作OM⊥EF，M為垂足．
∵OE=OF，
∴OM=ME=MF．
PE²+PF²=（ME-MP）²+（MF+MP）²=2（MO²+MP²）=2OP²．
∵O、E、B、F四點共圓，
∴PE•PF=OP•PB，
∴AE²+CF²=2OP²+2OP•PB=2OP（OP+PB）=2OP•OB．
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，以及勾股定理和相似三角形的判定和性質等．