Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC
E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，
∴BE=AB，DF=CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形
在△ABD中，E是AB的中點，
∴AE=BE=AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四邊形DEBF是菱形．

（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB
∴四邊形AGBD是平行四邊形
由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四邊形AGBD是矩形．
分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是弄清菱形及矩形的判定方法．