Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處．已知折痕CE＝5，且．

1.判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；

2.求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

3. 是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.與相似．----------------------------------------------- 1分

理由如下：

由折疊知，，

，

又，

．   3分

2.，設(shè)，則．由勾股定理得．

．--------------- 4分

由（1），得，

，

．------------------------------------------------ 5分

在中，，

，解得．

，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，----------------------------------------- 6分

設(shè)直線的解析式為，

解得

，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．  8分

3.滿足條件的直線有2條：，．--------------------- 12分

下圖中的直線DB與直線DM即為所求．

注：第⑶題如何嚴(yán)密思考？靠碰運(yùn)氣找到兩條直線，顯然不具有一般性，也不能從嚴(yán)格意義上說明是否還存在其他符合要求的直線．下面的思考方法是非常精彩的：

    首先說明一個簡單事實(shí)：三條直線兩兩相交，不經(jīng)過同一點(diǎn)，則三條直線能夠圍成三角形．當(dāng)平行移動其中一條直線時（移動后的直線不經(jīng)過另兩條直線的交點(diǎn)），不改變圍成三角形的形狀（即始終相似）．

    基于上述事實(shí)，將y軸平移至點(diǎn)D，交直線CE于點(diǎn)Q，直線CE即直線PQ，則原問題轉(zhuǎn)化為：

    如下圖，△DQP中，∠D＝90°．經(jīng)過點(diǎn)D的直線l，斜邊所在的直線，與兩直角邊分別構(gòu)成的兩個三角形相似，這樣的直線l有幾條？

    顯然，當(dāng)直線l經(jīng)過△DQP內(nèi)部時，只有一條；當(dāng)直線在△DQP外部時，也只有一條．

【解析】⑴根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行解答

⑵先求出點(diǎn)C,E的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)

⑶根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行解答