Question

已知，如圖1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于點(diǎn)E，過E作CE的垂線交直線AB于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，則

AE

BE

=

 

，

ED

BE

=

 

；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，求證：BF=AF；
（3）如圖2，F(xiàn)點(diǎn)在AB的延長線上，當(dāng)n=

 

時(shí)，B為AF的中點(diǎn)；如圖3，將圖形1中的線段AD沿AB翻折，其它條件不變，此時(shí)F點(diǎn)在AB的反向延長線上，當(dāng)n=

 

時(shí)，A為BF的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形可求出△ADE∽△ADE，可求出∠ABD=∠DAE，由于AE⊥BD，可求出△ADE∽△BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）（3）的思路和解法一致，都是通過一對相似三角形來求解；由于∠AEB=∠CEF=90°，兩角加上（或減去）一個(gè)同角后，可得∠AEF=∠BEC，而易證得∠EBC=∠ADE=∠BAE，即可得△AEF∽△BEC，然后根據(jù)這個(gè)相似三角形所得比例線段及已知的線段比例關(guān)系，來求得n的值或BF、AF的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）∵AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形，
∴∠AED=∠DAB，∠ADE=∠ADE，
∴△ADE∽△BDA，即∠DAE=∠ABD，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB，
∴△ADE∽△BDA，
∵n=4，
∴

AD

AB

=

ED

AE

=

AE

BE

=

1

4

，
∴ED=

1

4

AE，AE=

1

4

BE，
∴當(dāng)n=4時(shí)，則

AE

BE

=

1

4

，

ED

BE

=

1

16

．

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EBC，而∠ADE=∠BAE=90°-∠DAE，
∴∠BAE=∠EBC；
又∵∠AEF=∠BEC=90°+∠BEF，
∴△AEF∽△BEC；
當(dāng)n=2時(shí)，

AF

BC

=

AE

BE

=

AD

AB

=

1

2

，即AF=

1

2

BC=

1

2

AB；
∴BC=2AF，即F是AB的中點(diǎn)，AF=BF．

（3）易知∠F=∠C，∠FEA=∠BEC=90°+∠AEC（圖③為90°-∠AEC），
∴△AEF∽△BEC，得：

AF

BC

=

AE

BE

=

AD

AB

=

1

n

；
即BC=nAF；
①當(dāng)B是AF的中點(diǎn)時(shí)，AF=2AB=2BC，n=

1

2

；
②當(dāng)A是BF中點(diǎn)時(shí)，AF=AB=AC，即n=1．

點(diǎn)評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確的判斷出圖中的相似三角形，是解答此題的關(guān)鍵．