Question

如圖，以Rt△ABO的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4，OB=3，一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個(gè)

單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)

沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止

運(yùn)動(dòng),設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2) 在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①．

求出此時(shí)△APQ的面積．

(3) 在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰梯

形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(4) 伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB－BO－OP于點(diǎn)F． 當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3

           ∴AB＝

          ①P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP＝AQ＝t，AP＝4－t

            過Q作QH⊥AP于H點(diǎn)，由QH//BO得

           

           ∴

            即     (0<t≤4)

②當(dāng)4<t≤5時(shí)，AP＝t－4  AQ=t

sin∠BAO=

    OH=

 ∴

         =··············(4分)

(2)由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ

     ∠AQP＝900   ∴cosA=

     當(dāng)0<t≤4   ∴    即

     當(dāng)4<t≤5時(shí)，   t=－16(舍去)

   ∴···············(6分)

(3)存在，有以下兩種情況

①若PE//BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE

過E、P分分別作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N

則有BM=QN,由PE//BQ得

∴

又∵AP=4－t,  ∴AN=

∴由BM=QN,得

∴　　　∴···································(8分)

②若PQ//BE，則等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)

由題意知

∵OP+AP=OA  ∴

∴t··············(10分)

由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為

(4)①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t

可得∠QOA=∠QAO   ∴∠QOB=∠QBO

∴OQ=BQ=t        ∴BQ=AQ=AE

∴······················(11分)

②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8－t

BQ=5－t, 

在Rt△OGQ中，OQ2 = RG2 + OG2

即(8－t)2 =

∴t = 5·························(12分)