Question

【題目】如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，

（1）請判斷線段AE和BD的數量關系和位置關系，并證明；

（2）若已知∠AED=135°，設∠AEC=α，當△BDE為等腰三角形時，求α的度數．

Answer 1

【答案】（1）AE=BD且AE⊥BD，理由見解析；（2）當△BDE為等腰三角形時，α的度數為112.5°、135°或90°．

【解析】試題分析：（1）根據和都是等腰直角三角形、即可得出再由角的計算即可得出利用全等三角形的判定定理SAS即可證出進而可得出延長AE，交CD于點H，交BD于點F，根據角的計算即可得出從而找出
（2）根據是等腰直角三角形即可得出結合即可找出由可得出進而得出再根據三角形內角和定理即可得出分以及三種情況考慮為等腰三角形，代入數據求出值，此題得解．

試題解析：(1)AE=BD且AE⊥BD，理由如下：

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,

∴AC=DC，EC=BC.

∴∠ACE=∠DCB.

在△ACE和△DCB中,

∴AE=DB，∠CAE=∠CDB.

延長AE，交CD于點H，交BD于點F，如圖1所示。

∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD，

∴AE⊥BD.

(2)∵△BCE是等腰直角三角形,

在△DBE中,

△BDE為等腰三角形分三種情況：

①∠DEB=∠DBE,即

②∠DEB=∠EDB,即

③∠DBE=∠EDB,即

綜上所述：當△BDE為等腰三角形時, 的度數為112.5°、135°或90°．