Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；

（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）當PC是⊙O的直徑時，△PCD≌△ABC，，理由見解析（3）30°

【解析】解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°�！唷螪=∠ACB。

∵∠A與∠P是所對的圓周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）當PC是⊙O的直徑時，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半徑，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

畫圖如下：

（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴�！唷螦CP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

（2）由△PCD∽△ABC，可知當PC=AB時，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度數，然后利用相似，即可得∠PCD的度數，又由垂徑定理，求得，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數，從而求得答案。