Question

如圖，E是正方形ABCD的邊CD上一點，連接AE，過A作AF⊥AE交CB的延長線于F，連接EF，取EF的中點P，連接AP、BP．
（1）若AB=2，∠DAE=30°，求四邊形ABCE的面積；
（2）求證：∠BPF=45°-∠BAP．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCD的邊AB=2，
∴AD=AB=2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即2²+DE²=（2DE）²，
解得DE=，
∴S_{四邊形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，
=2²-××2，
=4-；

（2）證明：如圖，連接CP，
∵P是EF的中點，AF⊥AE，∠BCE=90°，
∴AP=EF，CP=EF，
∴AP=CP，
在△ABP和△CBP中，
∵，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBP=45°，
∵CP=FP=EF，
∴∠BFP=∠BCP，
∴∠BFP=∠BAP，
在△BFP中，∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP．
分析：（1）根據正方形的四條邊都相等求出AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE=2DE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式進行計算即可求出DE，然后根據
S_{四邊形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，然后列式計算即可得解；
（2）連接CP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AP=EF，CP=EF，然后求出AP=CP，然后利用“邊邊邊”證明△ABP和△CBP全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，再求出∠ABP=45°，根據等腰直角三角形的性質求出∠APF=90°，然后三角形的內角和等于180°列式整理即可得證．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．