【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E為BC上一點,BE∶CE=3∶2,連接AE,點P從點A出發(fā),沿射線AB的方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,過點P作PF∥BC交直線AE于點F.
(1)線段AE=______;
(2)設(shè)點P的運動時間為t(s),EF的長度為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)當t為何值時,以F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC都相切?并求此時⊙F的半徑.
【答案】(1)5;(2);(3)時,半徑PF=;t=16,半徑PF=12.
【解析】
(1)由矩形性質(zhì)知BC=AD=5,根據(jù)BE:CE=3:2知BE=3,利用勾股定理可得AE=5;
(2)由PF∥BE知,據(jù)此求得AF=t,再分0≤t≤4和t>4兩種情況分別求出EF即可得;
(3)由以點F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時PF=PG,再分t=0或t=4、0<t<4、t>4這三種情況分別求解可得
(1)∵四邊形ABCD為矩形,
∴BC=AD=5,
∵BE∶CE=3∶2,
則BE=3,CE=2,
∴AE===5.
(2)如圖1,
當點P在線段AB上運動時,即0≤t≤4,
∵PF∥BE,
∴=,即=,
∴AF=t,
則EF=AE-AF=5-t,即y=5-t(0≤t≤4);
如圖2,
當點P在射線AB上運動時,即t>4,
此時,EF=AF-AE=t-5,即y=t-5(t>4);
綜上,;
(3)以點F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時,PF=FG,分以下三種情況:
①當t=0或t=4時,顯然符合條件的⊙F不存在;
②當0<t<4時,如解圖1,作FG⊥BC于點G,
則FG=BP=4-t,
∵PF∥BC,
∴△APF∽△ABE,
∴=,即=,
∴PF=t,
由4-t=t可得t=,
則此時⊙F的半徑PF=;
③當t>4時,如解圖2,同理可得FG=t-4,PF=t,
由t-4=t可得t=16,
則此時⊙F的半徑PF=12.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,連接DE并延長交CB的延長線于點F,點G在邊BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求證:△ADE≌△BFE;
(2)連接EG,判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.
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【題目】如圖,已知等邊△ABC,AB=4,以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D,過點D作DE⊥AC,垂足為E,過點E作EF⊥AB,垂足為F,連接FD.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求EF的長.
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【題目】把長方形OABC放在如圖所示的平面直角坐標系中,點F、E分別在邊OA和AB上,若點F (0,3),點C (9,0),且∠FEC=90°,EF=EC,則點E的坐標為_____.
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【題目】探究題:如圖,AB⊥BC,射線CM⊥BC,且BC=5cm,AB=1cm,點P是線段BC(不與點B、C重合)上的動點,過點P作DP⊥AP交射線CM于點D,連結(jié)AD.
(1)如圖1,若BP=4cm,則CD= ;
(2)如圖2,若DP平分∠ADC,試猜測PB和PC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若△PDC是等腰三角形,則CD= cm.(請直接寫出答案)
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【題目】某茶葉公司經(jīng)銷一種茶葉,每千克成本為元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)在一段時間內(nèi),銷量(千克)隨銷售單價(元/千克)的變化而變化,具有關(guān)系為:,物價部門規(guī)定每千克的利潤不得超過元.設(shè)這種茶葉在這段時間內(nèi)的銷售利潤(元),解答下列問題:
求與的關(guān)系式;
當取何值時,的值最大?并求出最大值;
當銷售利潤的值最大時,銷售額也是最大嗎?判斷并說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,則下列四個結(jié)論中:
①線段AD上任意一點到點B的距離與到點C的距離相等;
②線段AD上任意一點到AB的距離與到AC的距離相等;
③若點Q是線段AD的三等分點 ,則△ACQ的面積是△ABC面積的;
④若,則;
正確結(jié)論的序號是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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