Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），可利用交點式求出二次函數解析式；
（2）根據直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長，得出B點的坐標，即可利用待定系數法求出一次函數解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圓的半徑，即可得出P點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設二次函數解析式為：y=a（x-1）（x-3），
將D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，
∴二次函數對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點坐標為：（2，4），
一次函數解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
當點B在x軸下方，
∵拋物線的對稱軸和x軸圍成的面積為6，
∴B′C=4，
∴B′（2，-4），
∴，
∴
可得：y=-x-；


（3）過點P作FP⊥AB，設半徑PC=PF=r，當點B在x軸上面時，
∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，即=∴r=1.5，
∵B點坐標為：（2，4），
∴P點坐標為：（2，1.5），
如圖2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，
即=，
∴r=6，
∴P點坐標為：（2，-6），
當點B在x軸的下面，同理可得出P點坐標為：（2，-1.5）和（2，6），
∴P點坐標有4種情況：（2，-1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，-6）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．