Question

已知拋物線y=-x²+2mx-3經(jīng)過點(diǎn)M（5，-8），并與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP的面積為3？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求得m，可求得拋物線的解析式，可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）可求得A、B坐標(biāo)，由條件可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：
（1）∵拋物線y=-x²+2mx-3經(jīng)過點(diǎn)M（5，-8），
∴-8=-25+10m-3，解得m=2，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；
（2）在y=-x²+4x-3中，令y=0可得-x²+4x-3=0，解得x=1或x=3，
∴A點(diǎn)為（1，0），B為（3，0），
∴AB=3-1=2，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則S_△ABP=

1

2

×2×|y|=3，
解得y=±3，
當(dāng)y=3時(shí)，可得3=-x²+4x-3，其判別式△=16-24＜0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)y=-3時(shí)，可得-3=-x²+4x-3，解得x=0（舍去）或x=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-3，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，在（1）中求得m的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．