Question

【題目】如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B在線(xiàn)段AE上，點(diǎn)C在線(xiàn)段AD上．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE與線(xiàn)段CD的關(guān)系：；
（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜360°），
①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)AC=時(shí)，探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在這樣的角α，使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出角α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

∴AE﹣AB=AD﹣AC，

∴BE=CD；

（2）

解：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，

在△BAE與△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD；

②如圖，

∵以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵AC=ED，

∴AC=CD，

∴∠CAD=45°

或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°

∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．

故答案為：BE=CD．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，再根據(jù)等量關(guān)系可得線(xiàn)段BE與線(xiàn)段CD的關(guān)系；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，根據(jù)SAS可證△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADC=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．