Question

（2012•達(dá)州）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若AF=1，OA=2

2

，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°，然后即可證明結(jié)論．
（2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，繼而也可得出PC得長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，F(xiàn)A=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圓的半徑相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半徑，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴

PA

PC

=

AF

CO

∵CO=OA=2

2

，AF=1，
∴PC=2

2

PA，
設(shè)PA=x，則PC=2

2

x．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：(2

2

x)2+(2

2

)2=(x+2

2

)2，
解得：x=

4 2

7

，
∴PC=2

2

×

4 2

7

=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求熟練掌握切線的判定定理及性質(zhì)，有一定難度．