Question

17．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0）．連接AB、AC．
（1）請直接寫也二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AN．
①當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，求△AMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），可以求得二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達(dá)式；
（2）①根據(jù)題意可分為兩種情況，一種情況是AN=CN，一種情況是CA=CN，然后根據(jù)已知可以分別求出兩種情況下點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②由題意可以作MD⊥x軸于點(diǎn)D，然后根據(jù)三角形相似，可以求得相應(yīng)的邊的長度，從而可以求得△AMN面積的取值范圍．

解答 解：（1）此二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達(dá)式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
理由：∵二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$
解得，a=$-\frac{1}{4}$，c=4，
即此二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達(dá)式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
（2）①N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）或（$8-4\sqrt{5}，0$）；
理由：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），
∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），
∴OA=4，OC=8，
當(dāng)AN=CN時(shí)，$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}=8-n$，得n=3，
當(dāng)CA=CN時(shí)，$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=8-n$，得n=8-$4\sqrt{5}$，
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）或（8$-4\sqrt{5}，0$）；
②設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，如下圖所示，

∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
∴y=0時(shí)，得x₁=-2，x₂=8，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），
則BN=n+2，
∵M(jìn)D⊥x軸，AO⊥x軸，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{MD}{AO}$，
∵M(jìn)N∥AC
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}=\frac{BN}{BC}$，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD=$\frac{2}{5}（n+2）$，
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=$\frac{1}{2}×4×（n+2）-\frac{1}{2}×\frac{2}{5}（n+2）（n+2）$=$-\frac{1}{5}{n}^{2}+\frac{6}{5}n+\frac{16}{5}$=$-\frac{1}{5}（n-3）^{2}+5$，
∴當(dāng)n=3時(shí)，S_△AMN取得最大值5，
即△AMN面積的取值范圍是0＜S_△AMN≤5．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、求拋物線的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的相似、分類討論的數(shù)學(xué)思想、求二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵時(shí)明確題意，能根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求出拋物線的解析式、會利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題、能根據(jù)三角形的相似解答相關(guān)問題，能將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，求二次函數(shù)的最值．