Question

△ABC是等邊三角形,點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B,C重合),△ADE是以AD為一邊的等邊三角形,過點E作BC的平行線,分別交射線AB,AC于點F,G,連接BE.

(1)如圖(a)所示,當點D在線段BC上時.

①求證:△AEB≌△ADC.

②探究四邊形BCGE是怎樣的特殊四邊形?并說明理由.

(2)如圖(b)所示,當點D在BC的延長線上時,直接寫出(1)中的兩個結論是否成立.

(3)在(2)的情況下,當點D運動到什么位置時,四邊形BCGE是菱形?并說明理由.

Answer 1

【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,

∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.

又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,

∴△AEB≌△ADC.

②四邊形BCGE是平行四邊形,

理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.

又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,

∴EB∥GC.又∵EG∥BC,

∴四邊形BCGE是平行四邊形.

(2)①②都成立.

(3)當CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時,四邊形BCGE是菱形.

理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.

又∵CD=CB,∴BE=CB.

由②得四邊形BCGE是平行四邊形,

∴四邊形BCGE是菱形.