Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝2，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．

（1）求證：△OBC是等邊三角形；

（2）連結(jié)BE，當(dāng)BE＝時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)；

（3）在BC邊上取點(diǎn)F，設(shè)P，Q分別為線段AE，BF的中點(diǎn)，連結(jié)EF，PQ．若EF＝2，求PQ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)BE＝時(shí)，線段AE的長(zhǎng)為3﹣1或3+1；（3）PQ的取值范圍為≤PQ≤4．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：AD＝BC＝2，OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，然后利用勾股定理即可求出AC，從而求出OB、OC，即可證出△OBC是等邊三角形；

（2）作BM⊥AC于M，先求出∠BAC，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可分別求出BM和AM，根據(jù)勾股定理即可求出EM，最后根據(jù)點(diǎn)E的位置分類(lèi)討論，即可求出AE的值；

（3）作EG⊥BC于G，作PN⊥BC于N，則EGPNAB，易知PN為梯形EABG的中位線，點(diǎn)N為BG的中點(diǎn)，設(shè)EG=x，根據(jù)題意，先求出x的取值范圍，然后根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)和勾股定理分別求出PN和FG，從而求出QN，再根據(jù)勾股定理求出與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出的最值，從而求出PQ的取值范圍.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°

∴AC＝＝＝4，

∴OB＝OC＝2，

∴OB＝OC＝BC，

∴△OBC是等邊三角形；

（2）解：作BM⊥AC于M，如圖1所示：

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∴BM＝AB＝3，

∴AM＝BM＝3，EM＝＝＝1，

當(dāng)點(diǎn)E在M的左側(cè)時(shí)，AE＝AM﹣EM＝3﹣1；

當(dāng)點(diǎn)E在M的右側(cè)時(shí)，AE＝AM+EM＝3+1；

綜上所述，當(dāng)BE＝時(shí)，線段AE的長(zhǎng)為3﹣1或3+1；

（3）解：作EG⊥BC于G，作PN⊥BC于N，則EGPNAB，

易知PN為梯形EABG的中位線，點(diǎn)N為BG的中點(diǎn)

設(shè)EG=x，當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，EG的最小值為0；如圖所示EG≤EF=2，即0≤x≤2

∴PN=（EG+AB）＝，根據(jù)勾股定理：FG=

∵點(diǎn)Q、N分別為BF、BG的中點(diǎn)

∴BQ=BF，BN=BG

∴QN= BN－BQ=BG－BF=（BG－BF）=FG=，

∴

∵3＞0

∴隨x的增大而增大

∴當(dāng)x=0時(shí)，的最小值為10，當(dāng)x=2時(shí)，的最大值為16

∴PQ的取值范圍為≤PQ≤4．