Question

（2012•郴州）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸．
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得MA+MB的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對(duì)稱軸公式x=-

b

2a

求出對(duì)稱軸；
（2）如答圖1所示，連接AC，則AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求之M點(diǎn)；已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖2所示：
①若BC∥AP₁，確定梯形ABCP₁．此時(shí)P₁為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，解一元二次方程即可求得點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
②若AB∥CP₂，確定梯形ABCP₂．此時(shí)P₂位于第四象限，先確定CP₂與x軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出直線CN的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)，
∴

16a+4b+c=0 4a+2b+c=3 c=3

，解得a=-

3

8

，b=

3

4

，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3；
其對(duì)稱軸為：x=-

b

2a

=1．

（2）由B（2，3），C（0，3），且對(duì)稱軸為x=1，
可知點(diǎn)B、C是關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)．
如答圖1所示，連接AC，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)M，連接MB，
則MA+MB=MA+MC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MA+MB的值最�。�
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵A（4，0），C（0，3），
∴

4k+b=0 b=3

，解得k=-

3

4

，b=3，
∴直線AC的解析式為：y=-

3

4

x+3，
令x=1，得y=

9

4

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

9

4

）．

（3）結(jié)論：存在．
如答圖2所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：
①若BC∥AP₁，此時(shí)梯形為ABCP₁．
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x軸，則x軸與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P₁即為所求．
拋物線解析式為：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3，令y=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四邊形ABCP₁為梯形；
②若AB∥CP₂，此時(shí)梯形為ABCP₂．
設(shè)CP₂與x軸交于點(diǎn)N，
∵BC∥x軸，AB∥CP₂，
∴四邊形ABCN為平行四邊形，
∴AN=BC=2，
∴N（2，0）．
設(shè)直線CN的解析式為y=kx+b，則有：

b=3 2k+b=0

，
解得k=-

3

2

，b=3，
∴直線CN的解析式為：y=-

3

2

x+3．
∵點(diǎn)P₂既在直線CN：y=-

3

2

x+3上，
又在拋物線：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3上，
∴-

3

2

x+3=-

3

8

x²+

3

4

x+3，化簡(jiǎn)得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點(diǎn)P₂橫坐標(biāo)為6，代入直線CN解析式求得縱坐標(biāo)為-6，∴P₂（6，-6）．
∵?ABCN，
∴AB=CN，而CP₂≠CN，
∴CP₂≠AB，
∴四邊形ABCP₂為梯形．
綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）或（6，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、軸對(duì)稱-最短路線問題以及梯形的定義與應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于代數(shù)幾何綜合題，有一定的難度．第（3）問為存在型問題，注意P點(diǎn)不止一個(gè)，此處為易錯(cuò)點(diǎn)．