Question

3．如圖，已知直線y=kx+b（k＞0）交拋物線y=-（x-1）²交于M、P兩點(diǎn)，交拋物線對(duì)稱軸x=1于Q（Q在x軸下方），交x軸于D，點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)，延長NP交對(duì)稱軸x=1于G，求證：DG=DQ．

Answer 1

分析 分別設(shè)P（a，-a²+2a-1），M（b，-b²+2b-1），N（2-b，-b²+2b-1），然后分別求出直線PM、PN的解析式，令x=1分別代入直線PM，PN的解析式中，求出G、Q的坐標(biāo)，若GA=GQ，則DG=DQ．

解答 解：設(shè)P（a，-a²+2a-1），M（b，-b²+2b-1），
∵M(jìn)與N關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴N（2-b，-b²+2b-1），
設(shè)直線PN的解析式為：y=k₁x+m，
把P與N的坐標(biāo)代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2a-1=a{k}_{1}+m}\\{-^{2}+2b-1=（2-b）{k}_{1}+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-（a-b）}\\{m=2a-ab-1}\end{array}\right.$，
∴直線PN的解析式為：y=-（a-b）x+2a-ab-1，
令x=1代入直線PN的解析式，
∴y=a+b-ab-1，
∴G（1，a+b-ab-1），
∴GA=a+b-ab-1，
設(shè)直線PM的解析式為：y=k₂x+n，
把P與M的坐標(biāo)分別代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2a-1=a{k}_{2}+n}\\{-^{2}+2b-1=b{k}_{2}+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-（a+b-2）}\\{n=ab-1}\end{array}\right.$，
∴直線PM的解析式為：y=-（a+b-2）x+ab-1，
令x=1代入直線PM的解析式，
∴y=-a-b+ab+1，
∴Q（1，-a-b+ab+1），
∴AQ=a+b-ab-1，
∴GA=AQ，
∵GA⊥AD，
∴AD垂直平分GQ，
∴DG=DQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，涉及用含參數(shù)表示坐標(biāo)，待定系數(shù)法，因式分解等知識(shí)，題目較綜合，運(yùn)算量也比較大，解題關(guān)鍵是用參數(shù)a、b設(shè)P、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)出來．