Question

8．在等腰三角形ABC中，AB=AC，分別在射線AB、CA上取點(diǎn)D、E，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交直線BC于點(diǎn)F，直線BC與DE所在直線交于點(diǎn)M．
猜想：如圖①，點(diǎn)D在邊AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AC上，且BD=CE，則線段DM、EM的大小關(guān)系為DM=EM．
探究：如圖②，點(diǎn)D、E分別在邊AB、CA延長(zhǎng)線上，且BD=CE，判斷線段DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明．
拓展：如圖③，點(diǎn)D在邊AB上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，若BD=1，CE=4，DM=0.7，則線段DE的長(zhǎng)為2.1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠D=∠MEF，證明△BDM≌△FEM即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠D=∠MEF，證明△BDM≌△FEM即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到EF=CE由BD∥EF得$\frac{BD}{EF}$=$\frac{MD}{ME}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）猜想：DM=EM．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
故答案為：DM=EM．

（2）結(jié)論DM=EM．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
（3）∵EF∥AB，
∴∠F=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠F=∠C，
∴EF=CE=4，
∵BD∥EF，
∴$\frac{BD}{EF}$=$\frac{MD}{ME}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{0.7}{EM}$，
∴EM=2.8，
∴DE=EM-DM=2.1，
故答案為2.1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰三角形，屬于中考�？碱}型．