Question

11．探究：如圖1，AB∥CD∥EF，點G、P、H分別在直線AB、CD、EF上，連接PG、PH，當點P在直線GH的左側時．試說明∠AGP+∠EHP=∠GPH．下面給出了這道題的解題過程，請完成下面的解題過程，并填空（理由或數(shù)學式）

解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AGP=∠GPD，
∵CD∥EF，
∴∠DPH=∠EHP（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠GPD+∠DPH=∠GPH
∴∠AGP+∠EHP=∠GPH（等量代換）．
探究：當點P在直線GH的右側時，其他條件不變，如圖2，試探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之間的關系，并說明理由．
應用：點P是直線CD上一動點，且不在直線GH上，其他條件不變，若∠GPH=70°，則∠AGP+∠EHP=70°或290°．

Answer 1

分析 由于AB∥CD是條件，因此理由是“已知”，由于∠DPH與∠EHP內(nèi)錯角，因此由CD∥EF推出∠DPH=∠EHP的理由是“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，由∠GPD+∠DPH=∠GPH得到∠AGP+∠EHP=∠GPH，是將∠GPD換成∠AGP，將∠DPH換成∠EHP，因此理由是“等量代換”；
探究：只需運用平行線的性質就可解決問題；
應用：只需運用探究得到的結論就可解決問題．

解答 解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AGP=∠GPD，
∵CD∥EF，
∴∠DPH=∠EHP（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠GPD+∠DPH=∠GPH
∴∠AGP+∠EHP=∠GPH（等量代換）．
故答案分別為：已知；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換．

探究：當點P在直線GH的右側時，其他條件不變，如圖2，∠AGP+∠EHP+∠GPH=360°．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AGP+∠GPC=180°，
∵CD∥EF，
∴∠CPH+∠EHP=180°，
∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP=360°，即∠AGP+∠GPH+∠EHP=360°；

應用：①當點P在直線GH的左側時，則有∠AGP+∠EHP=∠GPH．
若∠GPH=70°，則∠AGP+∠EHP=70°；
②當點P在直線GH的右側時，則有∠AGP+∠EHP+∠GPH=360°．
若∠GPH=70°，則∠AGP+∠EHP=360°-70°=290°．
綜上所述：若∠GPH=70°，則∠AGP+∠EHP=70°或290°．
故答案為70°或290°．

點評 本題主要考查的平行線的性質、證明的格式等知識，運用分類討論的思想是解決應用的關鍵．