Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E．F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上．且，DF、EG相交于點(diǎn)H．

（1）求出的值；

（2）求證：EG⊥DF；

（3）過點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDC的周長(zhǎng)最小，并求△PDC周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）見解析，△PDC周長(zhǎng)的最小值＝ .

【解析】

（1）根據(jù)題意求出DE、DG，根據(jù)勾股定理求出EG，計(jì)算即可；

（2）證明△EDG∽△DCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠DEG＝∠CDF，根據(jù)垂直的定義證明結(jié)論；

（3）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，得到△PDC周長(zhǎng)的最小值＝CD+DK，根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計(jì)算即可．

（1）解：∵E是邊AD的中點(diǎn)，＝，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

∴DE＝AD＝a，DG＝DC＝a，

由勾股定理得，EG＝ ＝a，

∴＝＝；

（2）證明：＝，＝，

∴＝，又∠EDG＝∠DCF，

∴△EDG∽△DCF，

∴∠DEG＝∠CDF，

∵∠EDG＝90°，

∴∠DEG+∠DGE＝90°，

∴∠GDH+∠DGE＝90°，即∠DHG＝90°，

∴EG⊥DF；

（3）解：作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短．周長(zhǎng)的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝．

由題意：CD＝AD＝a，

由（1）可知，ED＝AE＝a，DG＝a，EG＝a，

△DEG的面積＝×EG×DH＝×DG×DE，

DH＝＝a，

∴EH＝＝a，

∴HM＝ ＝a，

∴DM＝CN＝NK＝＝a，

∴DK＝ ＝a，

則△PDC周長(zhǎng)的最小值＝CD+DK＝ a．

故答案為：（1） ；（2）見解析；（3）見解析，△PDC周長(zhǎng)的最小值＝ .