Question

【題目】如圖，拋物線交X軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交Y軸于點(diǎn)C，

=6，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若∠PCB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，連接PC、

AQ，當(dāng)PC=AQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及ΔPCQ的面積.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2x+3；（2）P(2,3)；（3）P(,)， .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)， =6即可求得a值，從而求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)判定△OBC是等腰直角三角形，即可得∠BCO=∠OBC=45°，已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且∠PCB=45°，可得PC∥OB，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，令y=3，解方程即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第二象限，且橫坐標(biāo)相差1，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P（3-m，-m2+4m）（0＜m＜1）；得出點(diǎn)Q（4-m，-m2+6m-5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求出m的值，從而求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再求出直線CQ的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)S△PCQ=S△PCD+S△PQD即可求得ΔPCQ的面積．

試題解析：

(1)∵拋物線y=ax2ax3a=a(x+1)(x3)，

∴A(1,0),B(3,0),C(0,3a)，

∴AB=4，OC=|3a|=|3a|，

∵S△ABC=6，

∴ABOC=6，

∴×4×|3a|=6，

∴a=1或a=1(舍)，

∴拋物線的解析式為y=x+2x+3；

(2)由(1)知,B(3,0),C(0,3a)，

∴C(0,3)，

∴OB=3，OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO=∠OBC=45°，

∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且∠PCB=45°，

∴PC∥OB，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，

由(1)知,拋物線的解析式為y=x+2x+3，

令y=3,∴x+2x+3=3，

∴x=0(舍)或x=2，

∴P(2,3)；

(3)如圖2,過點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D,

設(shè)P(3m,m+4m)(0<m<1)；

∵C(0,3)，

∴PC2=(3m) +(m+4m3)2=(m3) [(m1)+1]，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，

∴Q(4m,m+6m5)，

∵A(1,0).

∴AQ2=(4m+1)+(m+6m5)=(m5) [(m1)+1]

∵PC=AQ，

∴81PC=25AQ，

∴81(m3) [(m1) +1]=25(m5) [(m1)+1]，

∵0<m<1，

∴[(m1)+1]≠0，

∴81(m3)=25(m5)，

∴9(m3)=±5(m5)，

∴m=或m= (舍)，

∴P(,),Q(,)，

∵C(0,3)，

∴直線CQ的解析式為y=x+3，

∵P(,)，

∴D(,)，

∴PD=+=52，

∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD=PD×xP+PD×(xQxP)= PD×xQ=××=.