Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是﹣4．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與直線AC關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求直線的表達(dá)式；

（3）平行于x軸的直線b與拋物線交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），與直線交于點(diǎn)P（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，結(jié)合函數(shù)圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0）B（1，0）；（2）直線的表達(dá)式為y＝x﹣1；（3）﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．

【解析】

（1）根據(jù)題意求得m＝1，從而求得解析式，令y＝0，解方程即可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（3）由 1，得出x1＋x2＝2，由題意可知2＜x3＜1，即可求得4＜x1＋x2＋x3＜1．

解：（1）∵拋物線 y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）的頂點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是﹣4，

∴4，解得m＝1，

∴y＝x2+2x﹣3，

令y＝0，則 x＝﹣3或1，

∴A（﹣3，0）B（1，0）；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，

∵點(diǎn)C（0，﹣3）關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是E（﹣2，﹣3），點(diǎn)A（﹣3，0）關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，0），

設(shè)直線的表達(dá)式為y＝kx+b，

∵點(diǎn)E（﹣2，﹣3）和點(diǎn)B（1，0）在直線上

∴，解得，

∴直線的表達(dá)式為y＝x﹣1；

（3）由對(duì)稱(chēng)性可知 1，

∴x1+x2＝﹣2，

∵x1＜x3＜x2，

∴﹣2＜x3＜1，

∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．