【題目】ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.

(1)在圖1中證明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°,GEF的中點(如圖2),直接寫出∠BDG的度數(shù);

(3)若∠ABC=120°,F(xiàn)G∥CE,F(xiàn)G=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求∠BDG的度數(shù).

【答案】(1)見解析;(2)45°;(3)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)AF平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四邊形ABCD是平行四邊形,求證∠CEF=∠F即可;(2)根據(jù)∠ABC=90°,GEF的中點可直接求得;(3)分別連接GB、GC,求證四邊形CEGF是平行四邊形,再求證△ECG是等邊三角形,AD∥BCAF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,求證△BEG≌△DCG,然后即可求得答案.

(1)證明:如圖1,


∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)解:連接GC、BG,


∵四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD為矩形,
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF為等腰直角三角形,
∵GEF中點,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE為等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG與△DCG中,

∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGA+∠DGA=90°,
∴△DGB為等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°.
(3)解:延長AB、FG交于H,連接HD.


∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四邊形AHFD為平行四邊形
∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF為等腰三角形
∴AD=DF,
∴CE=CF,
∴平行四邊形AHFD為菱形
∴△ADH,△DHF為全等的等邊三角形
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF
在△BHD與△GFD中,
,
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.

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