Question

3．（1）分析探究：已知x²≥0，請?zhí)骄浚?br />①如果x=a-b，那么利用完全平方公式，你可以得到什么結(jié)論？
②如果x=$\sqrt{a}-\sqrt$（a≥0，b≥0），那么你可以得到什么結(jié)論？
（2）實踐應(yīng)用：
①要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用（1）中探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值；
②已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=（x+1）²+4（x＞-1）．求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得該最小值時相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)x²＞0，x=a-b，從而可以得到（a-b）²≥0，展開整理即可得到所要的結(jié)論；
②根據(jù)x=$\sqrt{a}-\sqrt$（a≥0，b≥0），x²≥0，可以得到$（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}≥0$，展開整理即可得到所要的結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意可以分別設(shè)出長方形的長和寬，然后根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可得到鏡框周長的最小值；
②根據(jù)函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=（x+1）²+4（x＞-1），可以對$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$進行化簡，然后利用前面的結(jié)論即可得到$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，以及此時取得該最小值時相應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）①∵x²＞0，x=a-b，
∴（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
得a²+b²≥2ab；
②∵x=$\sqrt{a}-\sqrt$（a≥0，b≥0），x²≥0，
∴$（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}≥0$，
∴$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
得$a+b≥2\sqrt{ab}$；
（2）①設(shè)長方形鏡框的長為a米，寬為b米，則ab=1，
∵$a+b≥2\sqrt{ab}$，
∴a+b≥2，
∴2（a+b）≥4，
即鏡框周長的最小值是4米；
②∵y₁=x+1（x＞-1），y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}=（x+1）+\frac{4}{x+1}$$≥2\sqrt{（x+1）×\frac{4}{x+1}}=4$，
∴當$x+1=\frac{4}{x+1}$時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$取得最小值4，
∴（x+1）²=4，
解得x₁=1，x₂=-3（舍去），
即$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值是4，取得該最小值時相應(yīng)的x的值是1．

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，充分利用所得的結(jié)論解答所要求的問題．