Question

【題目】定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時(shí)．則稱此拋物線為正拋物線．

概念理解：

（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；

問(wèn)題探究：

（2）已知一條拋物線經(jīng)過(guò)x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；

應(yīng)用拓展：

（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個(gè)單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把△PMN沿x軸正半軸無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時(shí)記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時(shí)記為第2次翻滾，依此類推…，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)?/span>2019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y＝或y＝；（3）當(dāng)?shù)?/span>2019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．

【解析】

（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對(duì)稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為G，根據(jù)正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標(biāo)，即能求G點(diǎn)坐標(biāo)．由于不確定點(diǎn)G縱坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)，故需分類討論，再利用頂點(diǎn)式求拋物線解析式．

（3）根據(jù)題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標(biāo)，得到等邊△PMN，所以當(dāng)△PMN翻滾時(shí)，每3次為一個(gè)周期，點(diǎn)P回到x軸上方，且橫坐標(biāo)每多一個(gè)周期即加6，其規(guī)律為當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，橫坐標(biāo)為： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1）證明：∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴AD＝BD＝CD＝BC

∵拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)

∴AD＝AC

∴AD＝AC＝CD

∴△ACD是等邊三角形

∴以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線．

（2）∵E（1，0）且EF＝2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊

∴F（3，0）

∵一條經(jīng)過(guò)x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為G

∴△EFG是等邊三角形

∴xG＝

①當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+

把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+＝0

∴a＝﹣

∴y＝﹣（x﹣2）2+

②當(dāng)G（2，﹣）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣

把點(diǎn)E（1，0）代入得：a﹣＝0

∴a＝

∴y＝（x﹣2）2﹣

綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣

（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12

∴y1向下平移9個(gè)單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3

∴P（，3），M（0，0），N（2，0）

∴PM＝MN＝PN＝2

∴△PMN是等邊三角形

∴第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)?/span>P1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）

即每翻滾3次為一個(gè)周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為： +n×2＝（2n+1）

∵2019÷3＝673

∴（2×2019+1）×＝4039

∴當(dāng)?shù)?/span>2019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．