Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與坐標軸分別交于點A、點B、點C,并且∠ACB=90,AB=10.

(1)求證:△OAC∽△OCB;

(2)求該拋物線的解析式；

(3)若點P是(2)中拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P使得△PAC為等腰三角形,若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=-;(3)（3，4+），（3，4-），（3，0）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到得到解方程組即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)，根據(jù)兩點間的距離得到 ①當 時，②當 時，③當時，解方程即可得到結(jié)論．

試題解析：(1)

∴∠CAO=∠BCO，

∴△OAC∽△OCB；

(2)∵在中，當x=0，y=4，

∴OC=4，

∵△OAC∽△OCB，

∴,

∴OB=2或OB=8，

∴A(2,0),B(8,0)，

將上述坐標代入得

解得

∴所求作的解析式為:

(3)存在,∵

∴拋物線的對稱軸為：直線x=3，

∴設(shè)P(3,n)，

∵A(2,0),C(0,4)，

∵△PAC為等腰三角形，

①當AC=AP時,即

此方程無實數(shù)根，這種情況不存在；

②當AC=CP時,即

解得：

③當AP=CP時,即

解得：n=0，

∴P , .