Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，對(duì)于實(shí)數(shù)c、d，我們可用min{ c，d }表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{3，-1}=-1．若關(guān)于x的函數(shù)y=min{ax²-4ax+4a+c，m（x-t）²-1（m＞0）}的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，試討論其與動(dòng)直線y=

1

2

x+n交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)得出B點(diǎn)坐標(biāo)以及OB長(zhǎng)度，利用OB=OC得出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出a的值；
（2）作△ABC的外接圓⊙E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)⊙E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)

為點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P₂，點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₂，均為所求的點(diǎn)；
（3）由題意可知，原二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3可得，所求得的函數(shù)的解析式為：

y=(x -2)2-1(x＜3) y=(x-4)2-1(x≥3)

，進(jìn)而利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與b²-4ac的關(guān)系求出n的值．

解答：解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
∵拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于
點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=3．
可得該拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∴OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=1．
∴此拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；


（2）作△ABC的外接圓⊙E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)⊙E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)

為點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P₂，點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₂，均為所求的點(diǎn)，如圖1所示：

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線上即拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上，

∵∠AP₁B、∠ACB都是

AB

所對(duì)的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足∠APB=∠ACB，

由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2，

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線上即直線y=x上，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：E（2，2），

由勾股定理可得出：EA=

5

，

∴EP₁=EA=

5

，

∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為：P₁（2，2+

5

），

由對(duì)稱性得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為：P₂（2，-2-

5

），

∴符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)為：P₁（2，2+

5

），P₂（2，-2-

5

）；



（3）如圖2，由題意可知，原二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3可得，所求得的函數(shù)的解析式為：

y=(x -2)2-1(x＜3) y=(x-4)2-1(x≥3)

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)y₁=

1

2

x+n與y=（x-4）²-1有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

1

2

x+n=（x-4）²-1，

整理得出：x²-

17

2

x+15-n=0，
則b²-4ac=

289

4

-4（15-n）=0，
解得：n=-

49

16

，

∴當(dāng)n＜-

49

16

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象無交點(diǎn)；
當(dāng)n=-

49

16

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有唯一的一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)y₁=

1

2

x+n與y=（x-2）²-1有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

1

2

x+n=（x-2）²-1，

整理得出：x²-

9

2

x+3-n=0，
則b²-4ac=

81

4

-4（3-n）=0，
解得：n=-

33

16

，

∴當(dāng)-

49

16

＜n＜-

33

16

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)n=-

33

16

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)y₁=

1

2

x+n過點(diǎn)B時(shí)，

1

2

×3+n=0，

解得：n=-

3

2

，

∴當(dāng)-

33

16

＜n＜-

3

2

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)n=-

3

2

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)n＞-

3

2

時(shí)，動(dòng)直線y=

1

2

x+n與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式和圓周角定理等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．