Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結(jié)果．
（2）本題首先判斷出存在，首先設(shè)出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，從而得出PA的解析式，再分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時和時，當(dāng)P，C重合時，△APM≌△ACO，分別求出點P的坐標(biāo)即可．
（3）本題需先根據(jù)題意設(shè)出D點的橫坐標(biāo)和D點的縱坐標(biāo)，再過D作y軸的平行線交AC于E，再由題意可求得直線AC的解析式為，即可求出E點的坐標(biāo)，從而得出結(jié)果即可．
解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此拋物線的解析式為；

（2）存在．如圖，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，
則P點的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)1＜m＜4時，AM=4-m，．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)，
∵C在拋物線上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴，
∴△APM∽△ACO，
即．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②當(dāng)時，△APM∽△CAO，即．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當(dāng)1＜m＜4時，P（2，1），

當(dāng)m＞4時，AM=m-4，PM=m²-m+2，
①==或②==2，
把P（m，-m²+m-2）代入得：2（m²-m+2）=m-4，2（m-4）=m²-m+2，
解得：第一個方程的解是m=-2-2＜4（舍去）m=-2+2＜4（舍去），
第二個方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，-m²+m-2=-2，
則P（5，-2），

當(dāng)m＜1時，AM=4-m，PM=m²-m+2．
①==或==2，
則：2（m²-m+2）=4-m，2（4-m）=m²-m+2，
解得：第一個方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二個方程的解是m=4（舍去），m=-3，
m=-3時，-m²+m-2=-14，
則P（-3，-14），
綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14），
（3）如圖，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標(biāo)為||．
過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為．
∴E點的坐標(biāo)為．
∴，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=DE•h+DE•（4-h）=DE•4，
∴，
∴當(dāng)t=2時，△DAC面積最大，
∴D（2，1）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．