Question

7．如圖，已知拋物線y=ax²-5ax+4經過△ABC的三個頂點，BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對稱軸和A、B、C三點的坐標；
（2）寫出并求拋物線的解析式；
（3）探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可求出C點坐標，由BC∥x軸可知B，C關于拋物線的對稱軸對稱，可求出B點坐標，根據AC=BC可求出A點坐標．
（2）把點A坐標代入y=ax²-5ax+4中即可解決問題．
（3）分三種情況討論：
①以AB為腰且頂角為∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性質結合勾股定理求出P₁N的長，即可求出P₁的坐標；
②以AB為腰且頂角為角B，根據MN的長和MP₂的長，求出P₂的縱坐標，已知其橫坐標，可得其坐標；
③以AB為底，頂角為角P時，依據Rt△P₃CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P₃K的長，可得P₃坐標．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²-5ax+4可知C（0，4），對稱軸x=-$\frac{2a}$=$\frac{5}{2}$，
則BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）

（2）把點A坐標代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-$\frac{1}{6}$，
故y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4．

（2）存在符合條件的點P共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=$\frac{5}{2}$．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個：△P₁AB．
則AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=$\sqrt{A{{P}_{1}}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{80-（5.5）^{2}}$=$\frac{\sqrt{199}}{2}$，
∴P₁（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{199}}{2}$ ）．
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=$\sqrt{P{{B}_{2}}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{80-\frac{25}{4}}$=$\frac{\sqrt{295}}{2}$，
則P₂=（ $\frac{5}{2}$，$\frac{8-\sqrt{295}}{2}$）．
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，
∵∠CP₃K=∠ABQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽Rt_△BAQ．
∴$\frac{{P}_{3}K}{CK}$=$\frac{BQ}{AQ}$=$\frac{1}{2}$．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，
∴P₃（2.5，-1）．

點評 此題考查了用對稱軸公式求函數對稱軸方程，用待定系數法求函數解析式等基礎知識，還結合等腰三角形的性質考查了點的存在性問題，有一定的開放性屬于中考壓軸題．