Question

如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（－2，），且P（，－2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以 OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)（周長(zhǎng)用n的代數(shù)式表示），并寫出其最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）和（3），

【解析】解：（1）正比例函數(shù)解析式為 ---------------1分

反比例函數(shù)解析式為  ---------------2分  

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， ----------------------3分

于是=

而×1×2=1

所以有，，解得  --------------------6分

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為和 -------------------7分

（3）因?yàn)樗倪呅?i>OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

由勾股定理可得，-------------------8分

由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)是

．····················· 10分

平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是．-------11分

備注：

而點(diǎn)P（，）是定點(diǎn)，所以OP的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．

所以當(dāng)即時(shí)，有最小值4，

又因?yàn)?i>OQ為正值，所以OQ與同時(shí)取得最小值，所以OQ有最小值2．

（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（-2，-1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；

（2）求得三角形OBQ和三角形OAP的面積進(jìn)行解答

（3）因?yàn)樗倪呅?i>OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，由勾股定理可得OQ,OP的長(zhǎng)，而點(diǎn)P（，）是定點(diǎn)，所以OP的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值，所以當(dāng)即時(shí)，有最小值4，又因?yàn)?i>OQ為正值，所以OQ與同時(shí)取得最小值，所以OQ有最小值2．