Question

【題目】四邊形 OABC 在圖 1 中的直角坐標(biāo)系中，且OC在 y 軸上，OA∥BC，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（18，0），B（12，8），動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從 O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn) P以每秒2個(gè)單位的速度沿 OA 向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向 C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn) P、Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（單位：秒）．

（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PABQ 是平行四邊形，請寫出推理過程；

（2）如圖 2，線段 OB、PQ 相交于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 DE∥OA，交 AB 于點(diǎn) E，射線 QE 交 x 軸于點(diǎn) F，PF=AO．當(dāng) t 為何值時(shí)，△PQF 是等腰三角形？請寫出推理過程；

（3）如圖 3，過 B 作 BG⊥OA 于點(diǎn) G，過點(diǎn) A 作 AT⊥x 軸于點(diǎn) A，延長 CB 交 AT于點(diǎn) T．將點(diǎn) G 折疊，折痕交邊 AG、BG 于點(diǎn) M、N，使得點(diǎn) G 折疊后落在AT 邊上的點(diǎn)為 G′，求 AG′的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng) t 為 6 時(shí)，四邊形 PABQ 是平行四邊形；（2）當(dāng) t=1 或 t=時(shí)，△PQF 是等腰三角形；（3）AG′的最大值與最小值分別是 6，8﹣2．

【解析】

（1）由梯形的性質(zhì)得出當(dāng) PA=BQ 時(shí)，四邊形 PABQ 是平行四邊形，BQ=t，

OP=2t，得出方程，解方程即可；

過 Q作 QH⊥OF 于 H，①當(dāng) FP=FQ 時(shí)，求出 CQ=OH=12﹣t，PH=12﹣3t， 得出 FH=3t+6，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當(dāng) PF=PQ 時(shí)，PQ=P F=18，在 Rt△PQH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③當(dāng) PQ=FQ 時(shí)，PH=FH，得出方程 12﹣3t=6+3t，解方程即可；

當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，AG=AG′=6，此時(shí) AG′為最大值；當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn) B，另一點(diǎn)在 AG 上時(shí) AG′最小，此時(shí)，BG=BG′=8，在 Rt△BG′T 中，由勾股定理求出TG′，得出 即可．

（1）∵OA∥BC，

∴PA∥BQ，

當(dāng) PA=BQ 時(shí)，四邊形 PABQ 是平行四邊形，BQ=t，OP=2t，

∵A（18，0），

∴PA=18﹣2t，

∴t=18﹣2t， 解得：t=6，

∴當(dāng) t 為 6 時(shí)，四邊形 PABQ 是平行四邊形；

（2）過 Q 作 QH⊥OF 于 H，如圖 1 所示：

分三種情況：

①當(dāng) FP=FQ 時(shí)，

∵PF=AO=18，

∴FQ=18，BQ=t，

∴CQ=OH=12﹣t，

∴PH=12﹣3t，

∴FH=3t+6，

在 Rt△QHF 中，由勾股定理得：QH2+FH2=FQ2，

∴82+（3t+6）2=182，

解得：t1=，t2=（不合題意舍去）；

②當(dāng) PF=PQ 時(shí)，PQ=PF=18，

在 Rt△PQH 中，由勾股定理得：PQ2=PH2+QH2，

∴（12﹣3t）2+82=182，

解得：t1=（不合題意舍去），t2=（不合題意舍去）；

③當(dāng) PQ=FQ 時(shí)，PH=FH，

∴12﹣3t=6+3t， 解得：t=1；

綜上所述，當(dāng) t=1 或 t=時(shí)，△PQF 是等腰三角形；

（3）當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，如圖 2 所示：

AG=AG′=6，此時(shí) AG′為最大值；

當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn) B，另一點(diǎn)在 AG 上時(shí) AG′最小，如圖 3 所示：

此時(shí)，BG=BG′=8，

∵BT=6，

∴在 Rt△BG′T 中，

∴

綜上所述：AG′的最大值與最小值分別是