Question

20．如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，EC．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AEC=70°．
②猜想圖①中∠AEC，∠EAB，∠ECD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）拓展應(yīng)用：
如圖②，射線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)EF，AB∥CD，a，b，c，d分別是被射線EF隔開的4個區(qū)域（不含邊界），其中區(qū)域c，d位于直線CD下方，P是位于以上四個區(qū)域上的點(diǎn)，
猜想：∠PEA，∠PFC，∠EPF的關(guān)系（選擇其中一種情況畫出圖形，并直接寫出所有結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可；
②猜想得到三角關(guān)系，理由為：延長AE與DC交于F點(diǎn)，由AB與DC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；
（2）分四個區(qū)域分別找出三個角關(guān)系即可．

解答 解：（1）①∠AEC=70°；

②猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，
證明：延長AE交DC于點(diǎn)F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB=∠EFD，
∵∠AED為△EDF的外角，
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；


（2）當(dāng)P點(diǎn)在區(qū)域a時(shí)，如圖3，∠EPF=∠PEA+∠PFC；
當(dāng)P點(diǎn)在區(qū)域b時(shí)，如圖4，∠EPF+∠PEA+∠PFC=360；
當(dāng)P點(diǎn)在c區(qū)域時(shí)，如圖5，∠PFA=∠PEC+∠EPF；
當(dāng)P在d區(qū)域時(shí)，如圖6，∠PFC=∠PEA+∠EPF；

證明：圖3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC=180，
∴∠PEA+∠PFC=180°-∠PEF-∠PFE，
∵∠EPF=180°-∠PEF-∠PFE，
∴∠EPF=∠PEA+∠PFC．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能畫出符合的各個情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．