Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，兩線相交于點(diǎn)D，AF平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．

（1）若∠BAC＝68°，求∠DBC；

（2）求證：點(diǎn)F為BD中點(diǎn)；

（3）若AC＝BD，且CD＝3，求四邊形ABDC的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠DBC＝34°；（2）見解析；（3）四邊形ABDC的面積＝27．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC＝34°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線等分線段定理即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝CD＝3，求得BC＝6，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵AB＝AC，AF平分∠BAC，

∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC＝34°，

∵BD⊥AB，

∴∠AEB＝∠ABF＝90°，

∴∠DBC＝∠BAE＝34°；

（2）∵CD⊥BC，AE⊥BC，

∴EF∥CD，

∵BE＝CE，

∴BF＝DF，

∴點(diǎn)F為BD中點(diǎn)；

（3）∵AC＝BD，AB＝AC，

∴AB＝BD，

在△ABE與△BCD中，，

∴△ABE≌△BCD（AAS），

∴BE＝CD＝3，

∴BC＝6，

∴四邊形ABDC的面積＝3S△BCD＝3××3×6＝27．