Question

8．如圖（1），在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．容易證得：CE=CF；
（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．試猜想GE、BE、GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）運用（1）中解答所積累的經(jīng)驗和知識，完成下面兩題：
①如圖（2），在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，試探索當(dāng)α和β滿足什么關(guān)系時，圖（1）中GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系仍然成立，并說明理由．
②在平面直角坐標(biāo)中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖（3））．設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？若不變，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根據(jù)△EBC≌△FDC，然后證出△ECG≌△FCG，即可得出結(jié)論；
（2）①當(dāng)α=2β時，（1）中的三角形的全等關(guān)系即可證明是成立的；
②根據(jù)（1）的證明．可以得到：AM+CN=MN，據(jù)此即可證明△MNP的周長等于正方形邊長的2倍，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）∵在△EBC和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠FDC=∠EBC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
∴GC=GC，ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）①α=2β．
如圖，

延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，
則∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可證△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．
證明：如圖，

延長BA交y軸于E點，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠NCO=90°}\end{array}\right.$．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠NOM=45°}\\{OM=OM}\end{array}\right.$．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．

點評 此題考查四邊形綜合題，利用圖形的旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)解決問題，正確理解（1）中的證明以及結(jié)論是解題的關(guān)鍵．