Question

已知α+β=1，αβ=-1．設(shè)S₁=α+β，S₂=α²+β²，S₃=α³+β³，…，S_n=αⁿ+βⁿ
（1）計算：S₁=______，S₂=______，S₃=______，S₄=______；
（2）試寫出S_n-2、S_n-1、S_n三者之間的關(guān)系；
（3）根據(jù)以上得出結(jié)論計算：α⁷+β⁷．

Answer 1

解：（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
故答案為：1，3，4，7；
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
證明：∵α，β是方程x²-x-1=0的兩根，
∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=+++
=+
=αⁿ+βⁿ
=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
α⁷+β⁷=S₇
=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4
=29．
分析：（1）運用完全平方公式和立方和公式進行計算，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．
（2）利用（1）中S₂=3，S₃=4，S₄=7，猜想S_n=S_n-1+S_n-2，然后由α，β是方程x²-x-1=0的兩根，得到α²=α+1，β²=β+1進行證明．
（3）根據(jù)（2）中的猜想得到上式為S₇=S₆+S₅進行計算求出式子的值．
點評：本題考查的是整式的混合運算，（1）題運用乘法公式計算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．（2）題以（1）題結(jié)果為依據(jù)猜想S_n，S_n-1，S_n-2的關(guān)系，并根據(jù)α，β是方程x²-x-1=0的兩根進行證明．（3）題利用（2）題的結(jié)論進行計算求出式子的值．