Question

已知：二次函數(shù)y=x²-（m-n）x-mn+m-2的圖象與x軸有兩個不同的交點A（m，0），B（n，0），頂點為P．
（1）求m，n的值；
（2）直線y=kx+b（k＜0）經(jīng)過點A與y軸交于點C，若△APB與△ABC相似，求k和b的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-（m-n）x-mn+m-2的圖象與x軸有兩個不同的交點A（m，0），B（n，0），
∴m，n是方程x²-（m-n）x-mn+m-2=0的解，
∴m+n=m-n，mn=-mn+m-2，
∴m=2，n=0；

（2）由（1）得：y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴B（0，0），A（2，0），
頂點C（1，-1），
∴AP=BP=，OA=2，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵△APB與△ABC相似，∠ABC=90°，
則AO=OC=2，
∵k＜0，
∴點C（0，2），
∴，
解得：k=-2，b=4．
分析：（1）由二次函數(shù)y=x²-（m-n）x-mn+m-2的圖象與x軸有兩個不同的交點A（m，0），B（n，0），即可得m，n是方程x²-（m-n）x-mn+m-2=0的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=m-n，mn=-mn+m-2，則可求得m，n的值；
（2）首先根據(jù)（1）求得二次函數(shù)的解析式，求得A，B，P的坐標(biāo)，然后由△APB與△ABC相似與直線y=kx+b（k＜0），可得點C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得k和b的值．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．