Question

如圖，已知菱形AOBD的A、B、D三點在⊙O上，延長BO至點P，交⊙O于點C，且BP=3OB．
求證：AP是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：連接OD、AO，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AO=OB=BD=DA，則可判斷△OAD和△OBD都為等邊三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，則∠AOP=60°，于是又可判斷△AOC為等邊三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性質(zhì)有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切線的判定定理得到AP為⊙O的切線．

解答：證明：連接OD、AC，如圖，
∵四邊形AOBD為菱形，
∴AO=OB=BD=DA，
∴△OAD和△OBD都為等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，
∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，
∵PB=3BO，OC=OB，
∴CP=OC=AC，
∴∠P=∠CAP，
∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，
∴∠CAP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．