Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．給出以下五個結(jié)論：

（1）AE=CF；（2）∠APE=∠CPF；（3）三角形EPF是等腰直角三角形；（4）S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；（5）EF=AP，

其中正確的有__________個．

Answer 1

4【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）通過證明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，

（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出結(jié)論；

（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出結(jié)論；

（4）由S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出結(jié)論，

（5）由條件知AP=BC，當EF是△ABC的中位線時才有EF=AP，其他情況EF≠AP．

【解答】解：（1）∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，

∴∠APE=∠CPF．故（1）正確．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°．

∵P是BC的中點，

∴BP=CP=AP=BC．∠BAP=∠CAP=45°．

∴．∠BAP=∠C．

在△AEP和△CFP中

，

∴△AEP≌△CFP（ASA），

∴AE=CF，PE=PF，S_△AEP=S_△CFP，故（2）正確．

∴△EPF是等腰直角三角形．故（3）正確．

∵S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．

∴S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=S_△ABC．故（4）正確．

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，

∴AP=BC，

∵EF不是△ABC的中位線，

∴EF≠AP，故（5）錯誤；

∴正確的共有4個．

故答案為4．

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，中位線的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定定理的運用，三角形面積公式的運用，解答時靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關鍵．