Question

19．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∠EBC的平分線交CD于點(diǎn)F，將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在BE上M點(diǎn)處，延長BC，EF交于點(diǎn)N．有下列四個結(jié)論：
①BF垂直平分EN；
②BF平分∠MFC；
③△DEF∽△FEB；
④tan∠N=$\sqrt{3}$．
其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN；易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形；故正確的結(jié)論有3個．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF，在△DEF與△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCN=90°}\\{DF=CF}\\{∠DFE=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF=FN，
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∴BF平分∠MFC；故②正確；
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正確；
∵∠BFE=∠D=∠FME=90°，
∴∠EFM+∠FEM=∠FEM+∠FBE=90°，
∴∠EFM=∠EBF，
∵∠DFE=∠EFM，
∴∠DFE=∠FBE，
∴△DEF∽△FEB；故③正確；
∵△DFE≌△CFN，∴BE=BN，
∴△EBN是等腰三角形，
∴∠N不一定等于60°，
故④錯誤．
故選：A．

點(diǎn)評 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，證得△DFE≌△CFN是解題的關(guān)鍵．