【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度αα90°),得到正方形CDEF,ED交線段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H,連CHCG

1)求證:CBG≌△CDG;

2)求∠HCG的度數(shù);并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系,說明理由;

3)連結(jié)BDDA、AEEB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(245°;HG= HO+BG;(3)(2,0).

【解析】試題分析:(1)求證全等,觀察兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)都有直角,而CG為公共邊,進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可,因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到,所以邊都相等,即結(jié)論可證.

2)上問的結(jié)論,本題一般都要使用才能求出結(jié)果.所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等,即BG=DGDCG=BCG.同第一問的思路你也容易發(fā)現(xiàn)CDH≌△COH,也有對(duì)應(yīng)邊、角相等,即OH=DH,OCH=DCH.于是GCH四角的和,四角恰好組成直角,所以GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG

3)四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有GAB中點(diǎn)的時(shí)候.由上幾問知DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即四邊形AEBD為矩形.求H點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)其為(x,0),則OH=x,AH=6-x.而BGAB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá),那么根據(jù)勾股定理可列方程,進(jìn)而求出x,推得H坐標(biāo).

試題解析:(1正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF

∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°

Rt△CDGRt△CBG

∴△CDG≌△CBGHL),

2∵△CDG≌△CBG

∴∠DCG=∠BCG,DG=BG

Rt△CHORt△CHD

∴△CHO≌△CHDHL

∴∠OCH=∠DCHOH=DH

HG=HD+DG=HO+BG

3)四邊形AEBD可為矩形

如圖,

連接BD、DAAE、EB

因?yàn)樗倪呅?/span>AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有GAB中點(diǎn)的時(shí)候.

因?yàn)?/span>DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等,則其為矩形.

所以當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形.

四邊形DAEB為矩形

∴AG=EG=BG=DG

∵AB=6

∴AG=BG=3

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0

HO=x

∵OH=DH,BG=DG

∴HD=xDG=3

Rt△HGA

∵HG=x+3,GA=3,HA=6-x

x+32=32+6-x2

∴x=2

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(20).

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請(qǐng)把下列解題過程補(bǔ)充完整.

理由:

∵AB∥CD(已知)

   (兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)

∵∠1=∠2,∠3=∠4   

∴∠1=∠2=∠3=∠4   

∴180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣∠3﹣∠4(平角定義)

即:    (等量代換)

   

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