Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上兩點，經(jīng)過A、C、B的拋物線的一部分與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標(biāo)為（0，），點M是拋物線：的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)．

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得的面積最大？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)為直角三角形時，直接寫出m的值．______

 

Answer 1

【答案】

（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2）存在使得面積最大的點P，最大面積是；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）將y=mx²-2mx-3m化為交點式，即可得到A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C₁的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線B

的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值；

（3）先表示出DM²，BD²，MB²，再分兩種情況：①DM²+BD²=MB²時；②DM²+MB²=BD²時，討論即可求得m的值．

試題解析：（1）在中，

令y=0，則，解得x=3或x=-1．

∴A、B兩點的坐標(biāo)為：A（-1，0）、B（3，0）．

（2）設(shè)過A、B、C三點的拋物線解析式為，

把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得

  解得

∴ ．

設(shè)過B（3，0）、C（0，）兩點的解析式為 ，

代入，得．

設(shè)“蛋線”在第四象限上存在一點P，過P點作PH⊥AB，垂足為H，交BC于點G.

設(shè)H點坐標(biāo)為（x，0），則G（x，），P（x，）．

則PG=-()=.

∵

∴“蛋線”在第四象限上存在使得面積最大的點P，最大面積是．

（3）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，

頂點M坐標(biāo)（1，-4m），

當(dāng)x=0時，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，

MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，

BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，

當(dāng)△BDM為Rt△時有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．

①DM²+BD²=MB²時有：m²+1+9m²+9=16m²+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM²+MB²=BD²時有：m²+1+16m²+4=9m²+9，

解得或

考點: 二次函數(shù)綜合題．