在直角坐標系中,點A,B,C,D的坐標依次是(1,0),(a,b),(1,6),(m,n),要使四邊形ABCD為菱形(A,B,C,D按逆時針排列),且面積為24,求B,D兩點的坐標.
解:∵四邊形ABCD為菱形,
∴對角線AC⊥BD,且CE=AE;
∵A,C的坐標依次是(1,0),(1,6),
∴A、C在平行于y軸的直線x=1上,且E(1,3)
∴B、D、E應該在平行于x軸的直線上;
∵B,D的坐標依次是(a,b),(m,n),
∴b=n=3;
又∵菱形ABCD的面積是24,
∴S
菱形ABCD=
BD•AC=
|m-a|•(6-0)=24,即|m-a|=8;
又∵DE=BE,
∴|m-1|=|a-1|=
|m-a|=4;
又∵A,B,C,D按逆時針排列(如圖所示),
∴m=5,a=-3,
∴B(5,3)、D(-3,3).
分析:由點A,C的坐標知點A、C在平行于y軸的直線x=1上,根據(jù)菱形的性質(zhì):對角線相互垂直且平分,來求點E的坐標為(1,3)及B、D、應該在平行于x軸的直線上;然后根據(jù)菱形的面積公式S
菱形ABCD=
BD•AC及兩點間的距離公式求得
BD=8;最后根據(jù)兩點間的距離公式求得DE=BE=4,即|m-1|=|a-1|=
|m-a|=4,所以m=5,a=-3,從而求得B、D兩點的坐標.
點評:本題考查了是菱形的性質(zhì)、點的坐標與圖形性質(zhì).解題時,采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想,通過菱形的對角線互相垂直平分及兩點間的距離公式來求得B、D兩點的坐標.