Question

6．在正方形ABCD的外側(cè)作直線AP，過點(diǎn)B作BO⊥AP，垂足為O．
（1）在圖中畫出△ABO關(guān)于直線AP對稱的△AEO；
（2）在（1）的條件下，連結(jié)DE．
①當(dāng)∠PAB=20°時，求∠ADE的度數(shù)；
②當(dāng)∠PAB=α，且0°＜α＜90°（α≠45°）時，直接寫出△ADE中∠ADE的度數(shù)（結(jié)果可用含α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；
（2）①利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進(jìn)而得出答案；
②由軸對稱的性質(zhì)可得：∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，分兩種情況分別用等腰三角形的性質(zhì)和平角以及周角的意義計算即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）①由對稱得∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADE=$\frac{180°-130°}{2}$=25°；
②Ⅰ、當(dāng)0°＜α＜45°時，如圖1，由對稱得∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∴∠BAE=2∠PAB=2α，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=∠BAD+2∠BAP=90°+2α，
∵AE=AB，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）=$\frac{1}{2}$[180°-（90°+2α）]=45°-α；
Ⅱ、當(dāng)45°＜α＜90°時，如圖2，

由對稱得∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∴∠BAE=2∠PAB=2α
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=360°-∠BAD-2∠BAP=360°-90°-2α=270°-2α，
∵AE=AB，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）=$\frac{1}{2}$[180°-（270°-2α）]=α-45°．
∴當(dāng)0°＜α＜45°時，∠ADE=45°-α，當(dāng)45°＜α＜90°時，∠ADE=α-45°．

點(diǎn)評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及平角，周角的意義和等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．