Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，拋物線過點B。

（1）若a＝－l，且拋物線與矩形有且只有三個交點B、D、E，求△ BDE的面積S的最大值；

（2）若拋物線與矩形有且只有三個交點B、M、N，線段MN的垂直平分線l過點C，交線段OA于點F。當AF＝1時，求拋物線的解析式。

Answer 1

（1）∵a＝－l，∴。

又∵拋物線過點B(6，3)，∴，即。

∴

如圖① ，當拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上時， 拋物線與ｙ軸的交點應落在原點或原點下方。

∴　當x＝0時，y≤0。

∴，即。

由拋物線的對稱性可知： 。

 又∵ △ BDE的高＝BC＝3，∴ S＝。

∵ ＞0，∴ S隨b的增大而減少。

∴ 當b＝時，S的最大值＝。

如圖② ，當拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、AO邊上時，拋物線與直線x＝0的交點應落在線段AO上且不與點A重合，即0≤＜3。

當x＝0，則，∴ 0≤＜3，∴ 。

∴ AE＝。

∴ S＝BD·AE＝。

∵ ＜0，∴ S隨b的增大而增大。

∴ 當b＝時，S的最大值＝。

綜上所述：S的最大值為。

（2）當a＞0時，符合題意要求的拋物線不存在。

               　　 當a＜0時，符合題意要求的拋物線有兩種情況：

① 當點M、N分別在AB、OC邊上時．

如圖③ ,過M點作MG⊥ OC于點G，連接CM，

                　　∴ MG＝OA＝3．∠2＋∠ MNＧ＝90°。

              　　  ∵ CF垂直平分MN．

∴ CM＝ＣN，∠1＋∠ MNＧ=90°，∠ 1＝∠ 2。

               　　 ∵　AF＝1，OF＝3－1＝2。

                　　∴　，。

∴　GN＝GM＝1。

設N(n，0)，則G(n＋1，0)，∴　M(n＋1，3)。 ∴　BM＝，CM＝CN＝。

在Rt△BCM中，，

                　　∴ ，解得n＝1�！唷�M(2，3)，N(1，0)。

把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分別代入，得

，解得。

∴拋物線的解析式為。

設N(0，n)．則FN＝2－n，AN＝3一n�！郙F＝2－n，AM＝。

在Rt△MABF中，∵，∴。

解得： (不合題意舍去)，∴。

∴AM＝，∴　M(，3)，N(0，) 。

把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分別代入，得

，解得　。

∴拋物線的解析式為。

綜上所述，拋物線的解析式為或。

【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，矩形的性質，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，解二元一次方程組。