Question

（2013•懷化）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．
（1）求證：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面積為16cm²，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）先根據等腰直角三角形的性質得出∠B=∠A=45°，再根據四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出結論；
（2）過點C作CG⊥AB于點G，由正方形DEFG的面積為16cm²可求出其邊長，故可得出AB的長，在Rt△ADE中，根據勾股定理可求出AD的長，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的對應邊成比例即可求出AC的長．

解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠BFG=∠AED=90°，
故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，
∵在△ADE與△BGF中，

∠BFG=∠AED GF=DE ∠BGF=∠ADE

，
∴△ADE≌△BGF（ASA）；


（2）解：過點C作CG⊥AB于點H，
∵正方形DEFG的面積為16cm²，
∴DE=AE=4cm，
∴AB=3DE=12cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=

1

2

×12=6cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=AE=4cm，
∴AD=

AE2+DE2

=

42+42

=4

2

cm，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴△ADE∽△ACH，
∴

AE

AH

=

AD

AC

，

4

6

=

4 2

AC

，
解得AC=6

2

cm．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．