Question

15．閱讀理解：
數(shù)學(xué)課上，林老師出示了問題，點E、F分別在AB、BC上，∠EDF=45°，求證：EF=AE+CF．經(jīng)過思考，寧寧提出把△DCF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°到△DAH的位置，如圖2，由于DC=DA，旋轉(zhuǎn)后DC與DA重合，可以證明H、A、E三點共線，從而得到△DHE與△DFE全等，所以EF=HE=AE+HA=AE+CF．

啟發(fā)：
明明提出利用軸對稱性來解決這一問題，把△DAE沿DE翻折，△DCF沿DF翻折，翻折后點A的對應(yīng)點和點C的對應(yīng)點重合與點M，試說明點M必在線段EF上的理由．
解決問題：如圖3，四邊形ABCD是正方形，在BF上有一點E，若四邊形AEFC是菱形，求∠EAB的度數(shù)．

Answer 1

分析 啟發(fā)：由把△DAE沿DE翻折△DME，△DCF沿DF翻折得△DC′F，易得△DAE≌△DME，△DCF≌△DC′F，則可得點A的對應(yīng)點與點C的對應(yīng)點重合于點M，且∠DME+∠DMF=180°，繼而證得結(jié)論；
解決問題：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH，連接HC，易得AH=AE，∠ABE=∠ADH，∠AEB=∠AHD，由四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFC是菱形，易證得△ADH≌△CDH，則可得△HAC為等邊三角形，繼而求得答案．

解答 解：啟發(fā)：理由：如圖1，把△DAE沿DE翻折△DME，△DCF沿DF翻折得△DC′F，
則△DAE≌△DME，△DCF≌△DC′F，
∴∠DME=∠DAE=90°，∠DC′F=∠DCF=90°，DM=DA=DC=DC′，
∴點A的對應(yīng)點與點C的對應(yīng)點重合于點M，且∠DME+∠DMF=180°，
∴點M必在線段EF上；

解決問題：如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH，連接HC，
則△ABE≌△ADH，
∴AH=AE，∠ABE=∠ADH，∠AEB=∠AHD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵四邊形AEFC是菱形，
∴AC∥EF，
∴∠CBE=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ADH=135°，
∵∠ADC=90°，
∴∠HDC=135°，
∴∠ADH=∠HDC，
在△ADH和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HD}\\{∠ADH=∠CDH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴HA=HC，
∵AC=AE，
∴△HAC為等邊三角形，∠AHC=60°，
∴∠AHD=∠CHD=∠AEB=30°，
∴∠EAB=180°-∠ABE-∠AEB=15°．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．