Question

如圖1，在矩形ABCD中，點E、F分別在CD、AB邊上，且點A、FC在以點E為圓心、EC為半徑的圓上，連結(jié)CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，設(shè)BC=x，AF=y．
（1）求證：∠CAB=∠CEG；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)點F是AB中點時x的值．
（3）如圖2，當(dāng)x為何值時，點F是弧AC的中點？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接EF，由于EG經(jīng)過圓心E，且與弦CF垂直，由垂徑定理知∠CEF=2∠CEG，而圓周角∠CAF和圓心角∠CEG所對的弧正好相同，由圓周角定理知∠CEG=2∠CAF，由此得證；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，連接EA、EF；由于EA=EF，那么E點在AF的垂直平分線上，因此AF=2DE，即y=2（6-r），所以只需求出r、x的關(guān)系式即可；Rt△ADE中，AD=x，用r可表示出AE、DE的長，即可由勾股定理求得r、x的關(guān)系式，由此得解；
當(dāng)F是AB中點時，AF=y=3，將其代入①的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得x的值；
（3）當(dāng)F是弧AC的中點時，EF垂直平分AC，可得AE=EC，AF=FC；易知∠AEF=∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行線的內(nèi)錯角，等量代換后可得∠AEF=∠AFE=∠FAE，由此可證得△EAF是正三角形，由此可證得四邊形AECF的四邊都相等，即四邊形AECF是菱形；此時∠CFB=∠EAF=60°，在Rt△CFB中，易知BF=

1

2

CF，而AF=FC，那么BF即為AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的長，進而可得到BC（即x）的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接EF，
∵點A、F、C在以點E為圓心，EC為半徑的圓上，
∴EF=EC，
∵EG⊥CF，
∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，
∴∠CAB=∠CEG；

（2）解：如圖2，
連接EF、EA．設(shè)⊙E的半徑為r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=

1

12

x²+3，
∵EF=EA，
∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-

1

6

x²+6，
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

6

x²+6；
∵點F是AB的中點時，
∴AF=3，即y=3，
∴-

1

6

x²+6=3，
∴x=3

2

；

（3）解：如圖2，當(dāng)x=2

3

時，F(xiàn)是弧AC的中點．
理由如下：
∵點F是弧AC的中點，
∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，
∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=

1

2

CF=

1

2

AF=

1

3

AB=2，BC=2

3

，
∴x=2

3

時，F(xiàn)是弧AC的中點．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力．