Question

如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA、OD到點(diǎn)F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF．將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△E₁OF₁（如圖2）．
（1）探究AE₁與BF₁的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當(dāng)α=30°時(shí)，求證：△AOE₁為直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)不變量找到相等的角和線段，證得△E₁AO≌△F₁BO后即可證得結(jié)論；
（2）利用已知角，得出∠GAE₁=∠GE₁A=30°，從而證明直角三角形．
解答：（1）解：AE₁=BF₁．
證明：∵O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△E₁OF₁
∴OE₁=OF₁，
∵∠F₁OB=∠E₁OA，OA=OB，
∴△E₁AO≌△F₁BO，
∴AE₁=BF₁；

（2）證明：∵取OE₁中點(diǎn)G，連接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E₁OA=90°-α=60°，
∵OE₁=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E₁OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE₁，
∴∠GAE₁=∠GE₁A=30°，
∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，利用正方形的特殊性質(zhì)求解．結(jié)合了三角形全等的問題，并且涉及到探究性的問題，屬于綜合性比較強(qiáng)的問題．要求解此類問題就要對(duì)基本的知識(shí)點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí)，熟練掌握．